Induksi Matematika Lengkap

IdPelajar - Selamat datang para pelajar Indonesia.,

Pada saat ini saya akan membahas mengenai

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah suatu metode pembuktian deduktif yang digunakan untuk membuktikan pernyataan matematika yang bergantung pada himpunan bilangan yang terurut rapi (well ordered set), seperti bilangan asli ataupun himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli.
Perlu ditekankan bahwa induksi matematika hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan atau rumus, bukan untuk menurunkan rumus. Atau lebih tegasnya induksi matematika tidak dapat digunakan untuk menurunkan atau menemukan rumus.

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah sebagai berikut:
a. Langkah dasar : Tunjukkan P(1) benar.
b. Langkah induksi : Asumsikan P(k) benar untuk sebarang k bilangan asli, kemudian tunjukkan P(k+ 1) juga benar berdasarkan asumsi tersebut.
c. Kesimpulan : P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Pembuktian deret

Jika P(n) :  u1 + u2 + u3 + ... + un = Sn , maka
P(1) :  u1 = S1
P(k) :  u1 + u2 + u3 + ... + uk = Sk
P(k + 1) :  u1 + u2 + u3 + ... + uk + uk+1 = Sk+1

Contoh soal:
Buktikan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan:
a. Langkah dasar
p(1) : u1 = S1
Akan ditunjukkan P(1) benar
2 = 1(1+1) ~> {P(1) benar}
b. Langkah induksi
Asumsikan P(k) benar yaitu 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1), k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Dari asumsi :
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
Seperti yang diketahui diatas sebelum ditamabahkan uk + 1 bahwa
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
maka:
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
                  k(k + 1) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
dan terbukti bahwa kedua ruas memiliki nilai sama
Jadi, P(k + 1) benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembuktian Keterbagian

Pernyataan "a habis dibagi b" bersinonim dengan :
 a kelipatan b
 b faktor dari a
 b membagi a
Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a.
Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2

Contoh soal:
Buktikan 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan:
P(n) :  6n + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.
Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
61 + 4 = 10 habis dibagi 5 ~> {P(1) benar}
Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu  6k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu 6k+1 + 4 habis dibagi 5.
6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4
6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4
Karena 5(6k) habis dibagi 5 dan 6k + 4 habis dibagi 5, akibatnya 5(6k) + 6k + 4 juga habis dibagi 5.
Jadi, P(k + 1) benar.
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Pembuktian Pertidaksamaan 


Berikut sifat-sifat pertidaksamaan yang sering digunakan
1.  Sifat transitif
     a > b > c  ⇒  a > c  atau
     a < b < c  ⇒  a < c
2.  a < b dan c > 0  ⇒  ac < bc  atau
     a > b dan c > 0  ⇒  ac > bc
3.  a < b  ⇒  a + c < b + c  atau
     a > b  ⇒  a + c > b + c
Sebelum masuk pada contoh soal, ada baiknya kita latihan menggunakan sifat-sifat diatas untuk menunjukkan implikasi "jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar".
Misalkan
P(k) :  4k < 2k
P(k + 1) :  4(k + 1) < 2k+1
Jika diasumsikan P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan P(k + 1) juga benar !
Ingat bahwa target kita adalah menunjukkan
4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k  (TARGET)
Kita dapat mulai dari ruas kiri pertaksamaan diatas
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2k + 4        (karena 4k < 2k)
4(k + 1) < 2k + 2k      (karena 4 < 4k < 2k)
4(k + 1) = 2(2k)
4(k + 1) = 2k+1
Berdasarkan sifat transitif kita simpulkan
4(k + 1) < 2k+1
Mengapa 4k dapat berubah menjadi 2k ?
Berdasarkan sifat 3, kita diperbolehkan menambahkan kedua ruas suatu pertaksamaan dengan bilangan yang sama, karena tidak akan merubah nilai kebenaran pertaksamaan tersebut. Karena 4k < 2k benar, akibatnya 4k + 4 < 2k + 4 juga benar.
Darimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2k ?
Perhatikan target. Hasil sementara kita adalah 2k + 4 sedangkan target kita adalah 2k + 2k.
Untuk k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2k adalah benar, sehingga 4 < 2k juga benar (sifat transitif). Akibatnya 2k + 4 < 2k + 2k  benar (sifat 3).

Contoh soal:
Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku
3n < 2n

Pembahasan:
P(n) :  3n < 2n
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ N
Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(4) benar
3.4 = 12 < 24 = 16 ~>{P(4) benar}
Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu 3k < 2k,    k ≥ 4
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu 3(k + 1) < 2k+1
3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2k + 3               (karena 3k < 2k)
3(k + 1) < 2k + 2k             (karena 3 < 3k < 2k)
3(k + 1) = 2(2k)
3(k + 1) = 2k+1
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

Untuk contoh soal Induksi Matematika lainnya akan segera saya buatkan Soal-Bahas. Dan saya mohon maaf karena untuk saat ini, hanya ini yang dapat saya bahas pada materi Induksi Matematika.

Jika ada kesalahan dalam penulisan maupun bahasan, harap lapor kesaya, bisa melalu komentar dibawah atau bisa langsung menghubungi saya. Dan jikalau anda ingin bertanya silahkan bisa langsung komentar atau bisa langsung chat.

Sekian untuk pembahasan Induksi Matematika. Semoga dapat bermanfaat bagi kita semua dan mendapat berkah. Aamiin.

Jangan lupa like Fanspage kami disini atau Subscribe dibawah ini untuk mendapat update artikel terbaru. Dan jangan lupa share ya!!