Logika Matematika

IdPelajar - Selamat datang para pelajar Indonesia.,

Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan.

Materi logika matematika yang akan dibahas kali ini adalah:

Pernyataan

Dalam logika matematika, kita belajar untuk mementukan nilai dari suatu pernyataan, baik bernilai benar atau salah. Pernyataan sendiri terbagi menjadi 2 jenis, yaitu:
Pernyataan tertutup (kalimat tertutup)
Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.
Contoh:
“7 adalah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah karena yang benar adalah “7 adalah bilangan ganjil”.
Pernyataan terbuka (kalimat terbuka)
Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.
Contoh logika matematika:
p(x) = 2x + 1 > 4 , x ∈ R
Saat x=1, maka p(1) = 2(1) + 1 > 4 (bernilai salah)
Saat x=2, maka p(2) = 2(2) + 1 > 4 (bernilai benar)

Negasi (ingkaran pernyataan)

Ingkaran atau negasi adalah kebalikan nilai dari suatu pernyataan, dimana ketika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu pernyataan bernilai salah, negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan p dilambangkan dengan p.
Contoh:
Pernyataan P: Mobil memiliki 4 roda
Negasi pernyataan P: Tidak benar bahwa mobil memiliki 4 roda

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya

Dalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika. Pernyataan gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.
Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing memiliki lambang dan istilah sendiri.


Tabel kebenaran konjungsi
Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari konjungsi adalah bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai benar.

Tabel kebenaran Disjungsi Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari disjungsi adalah bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai salah.

Tabel kebenaran Implikasi Pada sifat implikasi ini, p => q, p disebut sebagai hipotesa dan q sebagai konklusi. Pada implikasi ini akan bernilai salah ketika konklusi salah dan hipotesa benar.

Tabel kebenaran Biimplikasi Pada sifat biimplikasi, penyataan majemuk akan bernilai benar jika kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar atau keduanya salah.

Tautologi dan Kontradiksi 
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan yang ada dan kontradiksi adalah kebalikannya, yaitu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan yang ada.

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah “≡“.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:
Ingkaran Pernyataan Majemuk
Ingkaran Konjungsi: ~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q
Ingkaran Disjungsi: ~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q
Ingkaran Implikasi: ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q
Ingkaran Biimplikasi: ~ (p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p)

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:
Konvers dari p ⇒ q adalah q ⇒ p
Invers dari p ⇒ q adalah ~ p ⇒ ~ q
Kontraposisi dari p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p

Pernyataan Kuantor 

Pernyataan kuantor adalah bentuk logika matematika berupa pernyataan yang memiliki kuantitas. Dalam pernyataan kuantor, pada umumnya terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, dan sebagian.
Kuantor Universal
Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan ∀(dibaca untuk semua atau untuk setiap).
Contoh:
∀ x ∈ R, x>0 dibaca untuk setiap x anggota bilangan riil maka berlaku x>0.
Kuantor Eksistensial
Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian )
Contoh:
∀ x ∈ R, x+5>1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana x+5>1.
Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial, begitu juga sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal.
Contoh :
p : beberapa siswa SMA rajin belajar
~p : semua siswa SMA tidak rajin belajar

Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:
Contoh soal:
Soal 1:
Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….
Pembahasan:
Premis 1               : p ⇒ q
Premis 2               : p
Kesimpulan          : q (modus ponens)
Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.
Soal 2:
Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2   : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….
Pembahasan:
Premis 1               : p ⇒ q
Premis 2               : ~ q
Kesimpulan          : (modus tollens)
Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan.
Soal logika matematika 3:
Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2   : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …
Pembahasan:
Premis 1               : p ⇒ q
Premis 2               : q ⇒ r
Kesimpulan          : p ⇒ r(silogisme)
Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.

Untuk contoh soal lainnya akan segera saya buatkan Soal-Bahas. Dan saya mohon maaf karena untuk saat ini, hanya ini yang dapat saya bahas.
Jika ada kesalahan dalam penulisan maupun bahasan, harap lapor kesaya, bisa melalu komentar dibawah atau bisa langsung menghubungi saya. Dan jikalau anda ingin bertanya silahkan bisa langsung komentar atau bisa langsung chat.

Sekian untuk pembahasan pada kali ini. Semoga dapat bermanfaat bagi kita semua dan mendapat berkah. Aamiin.

Jangan lupa like Fanspage kami disini atau Subscribe dibawah ini untuk mendapat update artikel terbaru. Dan jangan lupa share ya!!